梅林变换 （以幂函数为核的积分变换）

梅林变换 以幂函数为核的积分变换

Mellin 变换是一种以幂函数为核的积分变换。Mellin 变换有许多应用，例如可以证明黎曼ζ函数的函数方程。

在数学中，梅林变换是一种积分变换，可以被视为双边拉普拉斯变换的乘法版本。这个积分变换与Dirichlet级数理论密切相关，常用于数论，数理统计和渐近展开理论；它与拉普拉斯变换和傅立叶变换以及伽马函数理论和联合特殊函数密切相关。

外文名

Mellin transform

学科

统计学

性质

以幂函数为核的积分变换

应用

数论，数理统计和渐近展开理论

数学定义

函数f的梅林变换是：

梅林变换

逆变换是：

梅林变换

这是在复平面上的垂直线上的线积分。在Mellin反演定理中给出了这种反演有效的条件。这个转换以芬兰数学家Hjalmar Mellin命名。

与其他变换的关系

双边拉普拉斯变换可以通过梅林变换来定义：

梅林变换

相反，我们可以从双边拉普拉斯变换中得到梅林变换：

梅林变换

我们也可以用梅林变换定义傅里叶变换，反之亦然。就梅林变换和上面定义的双边拉普拉斯变换而言：

梅林变换

反过来我们也可获得：

梅林变换

梅林变换还通过泊松 - 梅林 - 牛顿循环将牛顿级数或二项式变换与泊松生成函数连接在一起。梅林变换也可以看作是Gelfand变换的卷积代数的局部紧凑阿贝尔正实数乘法。

Cahen-Mellin积分

梅林变换

梅林变换

梅林变换

对于，和 在主要分支，一个

梅林变换

梅林变换

其中 是伽马函数。这个积分被称为Cahen-Mellin积分。

数论

数论中的一个重要应用是简单的函数：

梅林变换

梅林变换

梅林变换

因此，假设

在概率论中

梅林变换

梅林变换

在概率论中，梅林变换是研究随机变量乘积分布的必要工具。如果X是一个随机变量，和 表示其正面部分，而 是其负部分，则梅林变换的X被定义为：

梅林变换

梅林变换

梅林变换

其中 满足。

概率论的梅林变换的重要性在于，如果X和Y是两个独立的随机变量，然后X、Y的梅林变换的结果是X和Y的梅林变换的乘积：

梅林变换

应用

梅林变换由于其尺度不变性而被广泛用于计算机科学分析算法。缩放函数的Mellin变换的幅度与纯虚数输入的原始函数的幅度相同。这种尺度不变性属性类似于傅立叶变换的平移不变性。时移函数的傅立叶变换的幅度与原函数的傅立叶变换的幅度相同。

这个属性在图像识别中很有用。当物体朝向或远离相机移动时，物体的图像很容易被缩放。

在量子力学尤其是量子场论中，傅立叶空间是非常有用的，并且由于动量和位置是彼此的傅立叶变换（例如，在动量空间中更容易计算费曼图），所以被广泛使用。2011年，A. Liam Fitzpatrick，Jared Kaplan，JoãoPenedones，Suvrat Raju和Balt C. van Rees证明Mellin空间在AdS / CFT通信中起着类似的作用。